Question

某同学为了研究函数f（x）=

1+x2

+

1+(1-x)2

（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则f（x）=AP+PF．
（1）f_min（x）=

 

；
（2）函数f（x）=

22

2

的零点个数是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：数形结合

分析：（1）通过数形结合知道RT△AEF的斜边AF的长就是函数的最小值，求出即可；（2）通过分析图象可得满足条件的P点有两个，故有两个零点．

解答： 解；（1）当A，P，F在同一直线上时，f（x）最小，
此时，AF=

AE2+EF2

=

22+12

=

5

；
故答案为：

5

．
（2）如图示：
，
当平行四边形AP₁FP₂的周长为

22

时，
即AP₁+P₁F=AP₂+P₂F=

22

2

满足题意，
∴函数f（x）=

22

2

的零点个数是2个，
故答案为：2个．

点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道中档题．