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已知x=-2与x=4是函数f(x)=-x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求常数a、b的值;
(2)判断函数x=-2,x=4处的值是函数的极大值还是极小值,并说明理由.
分析:(1)先对函数f(x)进行求导,由题意知-2,4是方程f'(x)=0的两实根,由韦达定理可求出a,b的值.
(2)将a,b的值代入导函数,然后根据导函数的符号及极值点的定义可确定是极大值还是极小值.
解答:解:(1)f′(x)=-3x2+2ax+b.
由极值点的必要条件可知x=-2和x=4是方程f′(x)=0的两根,
则-2+4=
2a
3
,-2×4=-
b
3
,解得a=3,b=24.
(2)由(1)知,f′(x)=-3x2+6x+24=-3(x+2)(x-4),
当x<-2或x>4时,f′(x)<0;
当-2<x<4时,f′(x)>0.
∴当x=-2时f(x)取得极小值,x=4时f(x)取得极大值.
点评:本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系.属基础题.
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