Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（t为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为，A，B两点的极坐标分别为．

（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

（2）点P是圆C上任一点，求△PAB面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）4．

【解析】

（1）由圆C的参数方程消去t得到圆C的普通方程，由直线l的极坐标方程，利用两角和与差的余弦函数公式化简，根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ转化为直角坐标方程即可；

（2）将A与B的极坐标化为直角坐标，并求出|AB|的长，根据P在圆C上，设出P坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离，利用余弦函数的值域确定出最小值，即可确定出三角形PAB面积的最小值．

解：（1）由，化简得：，

消去参数t，得（x+5）2+（y﹣3）2＝2，

∴圆C的普通方程为（x+5）2+（y﹣3）2＝2．

由ρcos（θ），化简得ρcosθρsinθ，

即ρcosθ﹣ρsinθ＝﹣2，即x﹣y+2＝0，

则直线l的直角坐标方程为x﹣y+2＝0；

（2）将A（2，），B（2，π）化为直角坐标为A（0，2），B（﹣2，0），

∴|AB|2，

设P点的坐标为（﹣5cost，3sint），

∴P点到直线l的距离为d，

∴dmin2，

则△PAB面积的最小值是S224．