Question

【题目】在中，三个内角的对边分别为．

（1）若是的等差中项，是的等比中项，求证：为等边三角形；

（2）若为锐角三角形，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）由是的等差中项可得，由是的等比中项，结合正弦定理与余弦定理即可得到，由此证明为等边三角形；

（2）解法1：利用分析法，结合锐角三角形的性质即可证明；

解法2：由为锐角三角形以及三角形的内角和为，可得，利用公式展开，进行化简即可得到。

（1）由成等差数列，有 ①

因为为的内角，所以 ②

由①②得 ③

由是的等比中项和正弦定理得，

是的等比中项， 所以 ④

由余弦定理及③，可得

再由④，得即，因此

从而 ⑤

由②③⑤，得

所以为等边三角形．

（2）解法1： 要证

只需证

因为、、都为锐角，所以，

故只需证：

只需证：

即证：

因为，所以要证：

即证：

即证：

因为为锐角，显然

故原命题得证，即．

解法2：因为为锐角，所以

因为

所以， 即

展开得：

所以

因为、、都为锐角，所以，

所以

即