Question

14．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦点为F（c，0），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆${x^2}+{y^2}=\frac{b^2}{4}$截得的线段的长为c，则直线FM的斜率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由右焦点为F（c，0），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求出a，b，c的关系．利用F（c，0）设直线与圆的相交的弦长公式，建立关系即可得到答案．

解答 解：由左焦点为F（c，0），离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，可得：c=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，${b}^{2}=\frac{2}{3}{a}^{2}$
设直线方程为y=k（x-c）与圆相交：
联立：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{{b}^{2}}{4}}\\{y=kx-kc}\end{array}\right.$，整理：$（1+{k}^{2}）{x}^{2}-2{k}^{2}cx+{k}^{2}{c}^{2}-\frac{{b}^{2}}{4}=0$
那么：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}c}{1+{k}^{2}}$，${x}_{1}•{x}_{2}=\frac{{k}^{2}{c}^{2}-\frac{{b}^{2}}{4}}{1+{k}^{2}}$，
由弦长公式可得：c=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
化简：c²=$\frac{4{k}^{4}{c}^{2}-4{k}^{2}{c}^{2}-{b}^{2}}{1+{k}^{2}}$．
由c=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$，${b}^{2}=\frac{2}{3}{a}^{2}$．
解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的基本性质abc的关系，直线与圆的弦长公式以及化简能力．属于难题．