Question

5．已知椭圆${Γ_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦点分别为F₁，F₂，其离心率为$\frac{1}{2}$；抛物线${Γ_2}：{y^2}=-4{a^2}x$的焦点F到准线l的距离为8，H是准线l上的点．
（1）求椭圆Γ₁、抛物线Γ₂的方程；
（2）过点F的直线交椭圆Γ₁于P，Q两点，设直线F₂H，PH，QH的斜率分别为k₁，k₂，k₃，探究：是否存在k₁，k₂，k₃的一个排列（如“k₃，k₁，k₂”，“k₁，k₃，k₂”等），使得这个排列为等差数列．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的基本性质以及抛物线的性质即可求解．
（2）设直线方程PQ（考虑斜率存在和不存在情况）和P、Q、H的坐标，利用设而不求的思想，建立关系，找到斜率k₁，k₂，k₃的关系，根据等差数列的性质判断其是否构成等差数列即可．

解答 解：（1）∵抛物线${Γ_2}：{y^2}=-4{a^2}x$的焦点F到准线l的距离为8，
∴2a²=8，解得a=2，
故抛物线Γ₂的方程为：y²=-16x．
∵椭圆Γ₁的离心率为$\frac{1}{2}$；即$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，∴c=1
那么：b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$
椭圆Γ₁的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由（1）可知：抛物线Γ₂的方程为：y²=-16x，其准线方程为x=4，设H（4，m），当直线PQ斜率不存在时，由P（1，$\frac{3}{2}$），Q（1，$-\frac{3}{2}$），那么${k}_{2}+{k}_{3}=\frac{m-\frac{3}{2}}{3}+\frac{m+\frac{3}{2}}{3}=\frac{2m}{3}=2{k}_{1}$，故k₂，k₁，k₃成等差数列．
当直线PQ斜率存在时：设直线PQ方程为y=k（x-1），P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂），H（4，m）．
联立：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，可得：x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
由题意：k₁=$\frac{m}{3}$，k₂=$\frac{{y}_{1}-m}{{x}_{1}-4}$，k₃=$\frac{{y}_{2}-m}{{x}_{2}-4}$
那么：k₂+k₃=$\frac{{（y}_{1}-m）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-m）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$=$\frac{8m+8k+2{x}_{1}{x}_{2}-（m+5k）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}-4（{x}_{1}+{x}_{2}）+16}$=$\frac{24m{k}^{2}+24m}{36{k}^{2}+36}=\frac{2m}{3}=2{k}_{1}$
故k₂，k₁，k₃成等差数列．
综上所述：k₂，k₁，k₃成等差数列或k₃，k₁，k₂成等差数列．

点评 本题考查了椭圆的基本性质，抛物线的性质，椭圆与直线的关系，设而不求的思想，直线斜率存在与否的讨论，同时考查了化简和计算能力．属于难题．