Question

10．已知函数f（x）=x²+2x，g（x）+f（-x）=0．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-l，1]上单调递增，求实数λ的范围．

Answer 1

分析 （1）由g（x）+f（-x）=0，可得g（x）=-f（-x），从而求得g（x）的解析式．
（2）不等式可得2x²-|x-1|≤0，分类讨论，去掉绝对值，求得x的范围．
（3）依题意h（x）=（λ+l）x²+2（1-λ）x+1在[-1，1]上单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论求得λ的范围．

解答 解：（1）∵g（x）+f（-x）=0，∴g（x）=-f（-x）=-x²+2x，
（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得：2x²-|x-1|≤0，
等价于 $\left\{\begin{array}{l}x＜1\\ 2{x^2}+x-1≤0\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{{2x}^{2}-x+1≤0}\end{array}\right.$ ②．
解①得x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，解②求得x∈∅，
∴原不等式的解集为{x|-1≤x≤$\frac{1}{2}$ }．
（3）依题意h（x）=-（λ+l）x²+2（1-λ）x+1在[-1，1]上单调递增，
1）当λ=-1时，h（x）=4x+1在[-1，1]上单调递增，符合题意．
2）当λ≠-1时，h（x）为二次函数，对称轴为x=$\frac{1-λ}{1+λ}$，
当λ＜-1时，图象开口向上，只需 $\frac{1-λ}{1+λ}$≤-1，解得λ＜-1；
当λ＞-1时，图象开口向下，只需$\frac{1-λ}{1+λ}$≥1，解得：-1＜λ≤0．
综上：λ≤0．

点评 本题主要考查求函数的解析式，绝对值不等式的解法，二次函数的性质应用，属于中档题．