Question

10．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，CD=40，AD=40，则当下底AB=80时，梯形ABCD的面积最大．

Answer 1

分析 设等腰梯形ABCD的底角∠ABC=α，则高为40sinα，下底AB=40cosα+40+40cosα，利用三角函数的有界限求最大值．

解答 解：由题意：设等腰梯形ABCD的底角∠ABC=α．（$0＜α＜\frac{π}{2}$）则高为40sinα．下底AB=40cosα+40+40cosα．
由梯形面积公式得：
$S=\frac{1}{2}•40sinα（80+80cosα）$
=1600（sinα+sinαcosα），
求导：S′=1600（cosα+cos²α-sin²α）
=1600（2cos²α+cosα-1）
=1600（2cosα-1）（cosα+1），
令S′=0，解得：cosα=$\frac{1}{2}$或cosα=-1，
∵（$0＜α＜\frac{π}{2}$），
∴cosα=$\frac{1}{2}$，此时α=$\frac{π}{3}$．
  显然当0＜cosα＜$\frac{1}{2}$时，S′＜0，即$α∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$减区间；
当$\frac{1}{2}$＜cosα＜1时，S′＞0．即$α∈（0，\frac{π}{3}）$增区间．
故在∴cosα=$\frac{1}{2}$，S取得最大值，即梯形ABCD的面积最大．此时α=$\frac{π}{3}$．
∴下底AB=40cosα+40+40cosα=80cos$\frac{π}{3}$+40=80．
故答案为：80．

点评 本题考查了求最值的方法，常用的方法有：观察法，不等式法，有界限法，配方法，分离常数法，求导法等等．学会根据题意，寻求简单的解题方法．属于基础题．