Question

2．函数y=2x-3-$\sqrt{13-4x}$的值域是（-∞，$\frac{7}{2}$]．

Answer 1

分析 利用“换元法”转化为二次函数求值域．注意换元后的参数的取值范围．

解答 解：由题意：设t=$\sqrt{13-4x}$（t≥0），则$x=\frac{13}{4}-\frac{1}{4}{t}^{2}$．
那么y=2x-3-$\sqrt{13-4x}$转化为：y=$2（\frac{13}{4}-\frac{1}{4}{t}^{2}）-3-t$
整理：y=$-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+\frac{7}{2}$（t≥0），
由二次函数图象及性质可知：函数y=$-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+\frac{7}{2}$图象开口向下，有最大值；单调减区间为（-1，+∞）；
∵t≥0，
∴当t=0 时，函数y=$-\frac{1}{2}{t}^{2}-t+\frac{7}{2}$取得最大值，即${y}_{max}=\frac{7}{2}$；
所以函数y=2x-3-$\sqrt{13-4x}$的值域为（-∞，$\frac{7}{2}$]．
故答案为：（-∞，$\frac{7}{2}$]．

点评 本题考查了利用“换元法”转化为二次函数求值域的方法．注意换元后的参数的取值范围．属于基础题．