Question

7．设函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=2^x，若对x∈[1，2]，不等式af（x）+g（2x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [-1，+∞）
• B． $[{-2\sqrt{2}，+∞}）$
• C． $[{-\frac{17}{6}，+∞}）$
• D． $[{-\frac{257}{60}，+∞}）$

Answer 1

分析 先根据函数奇偶性定义，解出奇函数f（x）和偶函数g（x）的表达式，将这个表达式不等式af（x）+g（2x）≥0，令t=2^x-2^-x，则t＞0，通过变形可得a≥-（t+$\frac{2}{t}$），讨论出右边在x∈[1，2]的最大值，可以得出实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵由f（x）+g（x）=2^x，结合f（-x）+g（-x）=-f（x）+g（x）=2^-x，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x）
不等式af（x）+g（2x）≥0，化简为$\frac{a}{2}$（2^x-2^-x）+$\frac{1}{2}$（2^2x+2^-2x）≥0
∵1≤x≤2
∴$\frac{3}{2}$≤2^x-2^-x≤$\frac{15}{4}$
令t=2^x-2^-x，则t＞0，因此将上面不等式整理，得：a≥-（t+$\frac{2}{t}$）．
∵$\frac{3}{2}$≤t≤$\frac{15}{4}$
∴$\frac{17}{6}$≤t+$\frac{2}{t}$≤$\frac{257}{60}$
∴a≥-$\frac{17}{6}$．
故选：C．

点评 本题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的基本性质，再结合换元法和基本不等式的技巧，是解决本题的关键．