Question

18．在直角坐标系xoy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=2-\sqrt{2}t}\\{y=-1+\sqrt{2}t}\end{array}}\right.$（t为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为$ρ=2cos（θ+\frac{π}{4}）$
（1）判断曲线C₁与曲线C₂的位置关系；
（2）设点M（x，y）为曲线C₂上任意一点，求2x+y的最大值．

Answer 1

分析 （1）将参数方程曲线C₁与曲线C₂化为普通方程，利用两点间的距离公式即可判断．
（2）利用参数方程转化成三角函数的有界限求其最大值．

解答 解：（1）将C₁消去参数t，即$\frac{2-x}{\sqrt{2}}×\sqrt{2}-1=y$，化简得到C₁的方程为x+y-1=0．
由$ρ=2cos（θ+\frac{π}{4}）$，得$ρ=\sqrt{2}cosθ-\sqrt{2}sinθ$，
∴${ρ^2}=\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$，即${x^2}-\sqrt{2}x+{y^2}+\sqrt{2}y=0$，化为标准方程为${（x-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}+{（y+\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^2}=1$．
圆心到直线的距离d：∵$d=\frac{{|{\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}-1}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜1$．
故曲线C₁与曲线C₂相交．
（2）由题意：M（x，y）为曲线C₂上任意一点，可设$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+cosθ}\\{y=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+sinθ}\end{array}}\right.$
则：$2x+y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+2cosθ+sinθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\sqrt{5}sin（θ+φ）$，
∵sin（θ+φ）的最大值为1．
∴2x+y的最大值是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\sqrt{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程的能力以及利用参数方程转化成三角函数的有界限求其最大值的问题，属于基础题．