Question

已知函数，（其中）.
（1）求的单调区间；
（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；
（3）设函数，当时，若存在，对任意的，总有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）单调增区间为，单调减区间为.
（2）.
（3）实数的取值范围为.

解析试题分析：（1）利用导数非负，函数是增函数，导数非正，函数是减函数.通过研究函数的导数值正负，解决问题；
（2）利用“转化与划归思想”，由题意得到在上恒成立，即在上恒成立，应用二次函数的性质得到，解得，注意验证时，是否恒为0；
（3）将“存在，对任意的，总有成立”转化成“在上的最大值不小于在上的最大值”. 建立的不等式组.
试题解析：（1），，
，故.
当时，；当时，.
的单调增区间为，单调减区间为.  3分
（2），则，由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函数开口向上，且对称轴为，故在上单调递增，因此只需使，解得；
易知当时，且不恒为0.
故.  7分
（3）当时，，，故在上，即函数在上单调递增，.  9分
而“存在，对任意的，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”.
而在上的最大值为中的最大者，记为.
所以有，，
.
故实数的取值范围为.  13分
考点：应用导数研究函数的单调性、最值，转化与划归思想，不等式的解法.