Question

9．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3，x≥0}\\{x•lo{g}_{2}|x|，x＜0}\end{array}\right.$，则f（f（-$\frac{1}{2}$））=$\frac{13}{4}$，若f（x）=ax-1有三个零点，则a的取值范围是a＞4．

Answer 1

分析 利用分段函数的表达式，直接代入进行求解即可，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：由分段函数的表达式得f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$•log₂$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
则f（$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{2}$）²+3=$\frac{13}{4}$，
若f（x）=ax-1有三个零点，
则f（x）与y=ax-1有三个交点，
当x＜0时，f（x）=xlog₂（-x），
则f′（x）=log₂（-x）+x$•\frac{1}{-xln2}$•（-1）
=log₂（-x）+$\frac{1}{ln2}$=log₂（-x）+log₂e=log₂（-ex），
由f′（x）＞0得-ex＞1，即x＜-$\frac{1}{e}$，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0得-ex＜1，即-$\frac{1}{e}$＜x＜0，此时函数单调递增，
作出函数f（x）的图象如图，
若a≤0，则f（x）与直线y=ax-1只有一个交点，不满足条件．
若a＞0，当x＜0时，直线y=ax-1与f（x）=xlog₂（-x）一定有一个交点，
当x≥0时，当直线和f（x）=x²+3相切时，
此时也有一个交点，此时两个函数有2个交点，
由x²+3=ax-1，得x²-ax+4=0，则判别式△=a²-16=0，
得a＞4或a＜-4（舍），
当直线和f（x）=x²+3相交时，即a＞4，此时有2个交点，
加上当x＜0时的一个交点，两个函数有3个交点，
此时满足条件，
综上a＞4．
故答案为：$\frac{13}{4}$，a＞4．

点评 本题主要考查函数零点个数的判断以及分段函数的求值问题，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．