【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知以
为圆心的圆
:
及其上一点
.
(1)设圆与
轴相切,与圆
外切,且圆心
在直线
上,求圆
的标准方程;
(2)设平行于的直线
与圆
相交于
,
两点,且
,求直线
的方程;
(3)设点满足:存在圆
上的两点
和
,使得
,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
或
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)根据直线与轴相切确定圆心位置,再根据两圆外切建立等量关系求半径;(2)根据垂径定理确定等量关系,求直线方程;(3)利用向量加法几何意义建立等量关系,根据圆中弦长范围建立不等式,求解即得参数取值范围.
试题解析:圆的标准方程为
,所以圆心
,半径为5.
(1)由圆心在直线上,可设
,
因为与
轴相切,与圆
外切,所以
,
于是圆的半径为
,从而
,解得
,
因此,圆的标准方程为
.
(2)因为直线,所以直线
的斜率为
.
设直线的方程为
,即
,则圆心
到直线
的距离
因为而
所以,解得
或
.
故直线的方程为
或
.
(3)设.
因为,所以
……①
因为点在圆
上,所以
,将①代入②,得
.
于是点既在圆
上,又在圆
上,从而圆
与圆
有公共点,所以
,解得
.因此,实数
的取值范围是
.
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【题目】某厂生产某种产品x(百台),总成本为C(x)(万元),其中固定成本为2万元,每生产1百台,成本增加1万元,销售收入 (万元),假定该产品产销平衡.
(1)若要该厂不亏本,产量x应控制在什么范围内?
(2)该厂年产多少台时,可使利润最大?
(3)求该厂利润最大时产品的售价.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=2 ,AD=2,求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.
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【题目】已知定义在(﹣1,1)上的函数f(x)满足:对任意x,y∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f(x+y).
(Ⅰ)求证:函数f(x)是奇函数;
(Ⅱ)如果当x∈(﹣1,0]时,有f(x)<0,试判断f(x)在(﹣1,1)上的单调性,并用定义证明你的判断;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若a﹣8x+1>0对满足不等式f(x﹣ )+f(
﹣2x)<0的任意x恒成立,求a的取值范围.
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【题目】给出下列四种说法: ①函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=logaax(a>0且a≠1)的定义域相同;
②函数y=x3与y=3x的值域相同;
③函数y= +
与y=
都是奇函数;
④函数y=(x﹣1)2与y=2x﹣1在区间[0,+∞)上都是增函数.
其中正确的序号是(把你认为正确叙述的序号都填上).
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【题目】某公司生产一种产品,第一年投入资金1000万元,出售产品收入40万元,预计以后每年的投入资金是上一年的一半,出售产品所得收入比上一年多80万元,同时,当预计投入的资金低于20万元时,就按20万元投入,且当年出售产品收入与上一年相等.
(1)求第年的预计投入资金与出售产品的收入;
(2)预计从哪一年起该公司开始盈利?(注:盈利是指总收入大于总投入)
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【题目】已知,函数
.
(1)当时,解不等式
;
(2)若关于的方程
的解集中恰有一个元素,求
的取值范围;
(3)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1,求
的取值范围.
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【题目】某校高一(2)班共有60名同学参加期末考试,现将其数学学科成绩(均为整数)分成六个分数段,
,…,
,画出如下图所示的部分频率分布直方图,请观察图形信息,回答下列问题:
(1)估计这次考试中数学学科成绩的中位数;
(2)现根据本次考试分数分成下列六段(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第六组)为提高本班数学整体成绩,决定组与组之间进行帮扶学习.若选出的两组分数之差大于30分(以分数段为依据,不以具体学生分数为依据),则称这两组为“最佳组合”,试求选出的两组为“最佳组合”的概率.
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