Question

11．已知△ABC的面积为1，tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=2，求△ABC的三边及△ABC外接圆的直径．

Answer 1

分析 由tanB=$\frac{1}{2}$，求出cosB，sinB，由tanC=2，求出cosC，sinC，从而求出sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=1，得到A=$\frac{π}{2}$，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，得a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\sqrt{5}b$，
再由S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}b×b×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=1，解得b=1，由此能求出结果．

解答 解：∵tanB=$\frac{1}{2}$＞0，∴0＜B＜$\frac{π}{2}$，
∴cosB=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}B}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
又tanC=2＞0，∴0＜C＜$\frac{π}{2}$，
∴cosC=$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}C}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=1，
∵0＜A＜π，∴A=$\frac{π}{2}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{b×1}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\sqrt{5}b$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}b×b×\frac{2\sqrt{5}}{5}$=1，解得b=1，
∴a=$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{5-1}=2$．
∴△ABC外接圆的直径2R=$\frac{a}{sinA}$=a=$\sqrt{5}$．

点评 此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．