Question

6．如图，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1．
（1）求证：EC⊥平面ABCD；
（2）若点M为EF的中点，求证：AM∥平面BDE；
（3）线段EF上是否存在点N，使得AN⊥平面BDF，若存在，求出NF的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据边EC两个平面的交线垂直即可证得结论；
（2）设BD∩AC=O，连结EO，由已知得四边形EOAM为平行四边形，由此能证明AM∥平面BDE；
（3）设AC∩BD=O，OF∩AN=G，连结OF、DG，过F作FH⊥DG于H，推导出AN⊥平面BDF，从而AN⊥OF，∠ANF=∠AFG=$\frac{π}{4}$，进而NF=AF=1，N为EF的中点．

解答 解：（1）证明：∵四边形ACEF是矩形，
∴EC⊥AC．
又∵正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，正方形ABCD∩矩形ACEF=AC，
∴EC⊥平面ABCD；
（2）证明：设BD∩AC=O，连结EO，
∵E，M为中点，且ACEF为矩形，
∴EM∥OA，EM=OA，
∴四边形EOAM为平行四边形，
∴AM=EO，
∵EO?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
（3）线段EF上存在点N，使得AN⊥平面BDF．理由如下：
设OF∩AN=G，连结OF、DG，
过F作FH⊥DG于H，
∴平面ADN∩平面BDF=DG，
∵平面ADN⊥平面BDF，FH?平面BDF，
∴FH⊥平面ADN，
∴FH⊥AN，即AN⊥FH，
∵AN⊥BD，BD、FH相交，∴AN⊥平面BDF，
∴AN⊥OF，
∴∠ANF=∠AFG，
∵OA=AF=1，∴∠AFG=$\frac{π}{4}$，∠ANF=$\frac{π}{4}$，
∴NF=AF=1．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用．