Question

17．设m，n∈R，若直线mx+ny=2与圆x²+y²=1相切，则m+n的取值范围是（　　）

• A． [-2，2]
• B． [-∞，-2]∪[2，+∞）
• C． [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． （-∞，-2$\sqrt{2}$]∪[2$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由直线mx+ny=2与圆x²+y²=1相切，得m²+n²=4，从而mn≤$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$=2，进而（m+n）²=m²+n²+2mn≤4+2×2=8，由此能求出m+n的取值范围．

解答 解：∵m，n∈R，直线mx+ny=2与圆x²+y²=1相切，
∴圆心（0，0）到直线的距离d=$\frac{|0+0-2|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=1，
解得m²+n²=4，
∴mn≤$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$=2，
∴（m+n）²=m²+n²+2mn≤4+2×2=8，
∴-2$\sqrt{2}≤m+n≤2\sqrt{2}$．
∴m+n的取值范围是[-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]．
故选：C．

点评 本题考查代数和取值范围的求法，考查直线方程、圆、点到直线的距离公式、基本不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．