Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）试讨论数列{a_n}的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．

Answer 1

解：（1）由已知，得，
…（3分）
又a_n-a_n-1=a（n∈N^*，n≥2）…（2分）
所以，数列{a_n}为公差为a的等差数列． …（1分）
（2）由a_n-a_n-1=a（n∈N^*，n≥2）得
当a＞0时，数列{a_n}为递增数列； …（2分）
当a=0时，数列{a_n}为常数列； …（2分）
当a＜0时，数列{a_n}为递减数列． …（2分）
分析：（1）根据S_n=n²，a_n=S_n-S_n-1，n≥2，然后将首项代入验证，可得数列{a_n}为公差为a的等差数列；
（2）根据a_n-a_n-1=a（n∈N^*，n≥2）可知只需讨论公差a的符号，从而确定数列{a_n}的单调性．
点评：本题主要考查了等差数列的判定，以及数列的函数特性和数列的单调性，属于基础题．