Question

4．已知{a_n}，{b_n}均为等差数列，它们的前n项和分别为S_n，T_n，若对任意n∈N^*有$\frac{{S}_{n}}{{T}_{n}}$=$\frac{31n+101}{n+3}$，则使$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$为整数的正整数n的集合为{1，3}．

Answer 1

分析 由等差数列的性质可得：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{{S}_{2n-1}}{{T}_{2n-1}}$，化简即可得出．

解答 解：$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{（2n-1）（{a}_{1}+{a}_{2n-1}）}{2}}{\frac{（2n-1）（{b}_{1}+{b}_{2n-1}）}{2}}$=$\frac{{S}_{2n-1}}{{T}_{2n-1}}$=$\frac{31（2n-1）+101}{2n-1+3}$=$\frac{31n+35}{n+1}$=31+$\frac{4}{n+1}$，
只有n=1，3时，$\frac{4}{n+1}$为整数，
∴使$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$为整数的正整数n的集合为{1，3}，
故答案为：{1，3}．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．