Question

【题目】已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（0≤φ≤ ）的图象相邻两对称轴之间的距离为π，且在x= 时取得最大值2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）当f（α）= ，且 ＜α＜ ，求sinα的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵若f（x）图象上相邻两条对称轴之间的距离为π，

∴三角函数的周期T=2π，即T= =2π，即ω=1，

则f（x）=sin（x+φ），

当x= 时，f（x）取得最大值，

即：sin（ +φ）=1，

即： +φ= +2kπ，k∈Z，

即：φ= +2kπ，k∈Z，

∵|φ|≤ ，

∴φ= ，

则函数f（x）的解析式为：f（x）=sin（x+ ）+1．

（2）解：令2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，

解得：2kπ﹣ ≤x≤2kπ+ ，k∈Z，

可得函数f（x）的单调递增区间为：[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，k∈Z．

（3）解：∵f（α）=sin（α+ ）+1= ，可得：sin（α+ ）= ，

∵ ＜α＜ ，可得： ＜ ＜π，

∴cos（α+ ）=﹣ =﹣ ．

∴sinα=sin[（α+ ）﹣ ]=sin（α+ ）cos ﹣cos（α+ ）sin = ﹣（﹣ ）× = ．

【解析】（1）根据三角函数的图象和性质，分别求出周期，利用正弦函数的单调性即可得到结论．（2）令2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，即可解得函数f（x）的单调递增区间．（3）由f（α）= ，可得sin（α+ ）的值，可求范围 ＜ ＜π，利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+ ）的值，由于α=（α+ ）﹣ ，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．