Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足an+2SnSn﹣1=0（n≥2），a1= ．
（1）求证：{ }是等差数列；
（2）求an的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵﹣an=2SnSn﹣1，

∴﹣Sn+Sn﹣1=2SnSn﹣1（n≥2），Sn≠0（n=1，2，3）．

∴ ﹣ =2．

又 = =2，∴{ }是以2为首项，2为公差的等差数列

（2）解：由（1）， =2+（n﹣1）2=2n，∴Sn= ．

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ =﹣ 〔或n≥2时，an=﹣2SnSn﹣1=﹣ 〕；

当n=1时，S1=a1= ．

∴an=

【解析】（1）本题关键是将an=Sn﹣Sn﹣1代入化简，再根据等差数列的定义进行判定即可．（2）先求出Sn ， 利用Sn求an ， 必须分类讨论an= ，求解可得．
【考点精析】利用等差关系的确定和数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．