Question

【题目】设等差数列{an}的前项和为Sn ， 且a2=2，S5=15，数列{bn}的前项和为Tn ， 且b1= ，2nbn+1=（n+1）bn（n∈N*）
（Ⅰ）求数列{an}通项公式an及前项和Sn；
（Ⅱ） 求数列{bn}通项公式bn及前项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由等差数列{an}的公差为d，由等差数列的性质可知：S5=5a3=15，则a3=3，
d=a3﹣a2=1，
首项a1=1，
∴数列{an}通项公式an=1+（n﹣1）=n，
前n项和Sn= = ；
（Ⅱ）2nbn+1=（n+1）bn（n∈N*），
则 = .，
∴ = ， = ， = × ，… = ，
∴当n≥2时， =（ ）n﹣1 ， 即bn= ，
当n=1时，b1= ，符合上式，
∴数列{bn}通项公式bn= ，
∴Tn= + + +…+ ，
Tn= + + +…+ + ，
两式相减得： Tn= + + +…+ ﹣ ，
= ﹣ ，
=1﹣ ﹣ ，
=1﹣ ，
Tn=2﹣ ，
数列{bn}前项和Tn=2﹣ ．
【解析】（Ⅰ）由等差数列的性质可知：S5=5a3=15，则a3=3，d=a3﹣a2=1，a1=1，根据等差数列通项公式及前n项和公式即可求得an及Sn；（Ⅱ）由题意可知： = ，采用累乘法即可求得数列{bn}通项公式bn= ，利用错位相减法求得数列{bn}前项和Tn ．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．