Question

1．已知函数f（x）=10^x-|lg（-x）|有两个零点x₁，x₂，则（　　）

• A． $\frac{1}{10}$＜x₁x₂＜1
• B． $\frac{1}{2}$＜x₁x₂＜1
• C． $\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1
• D． 1＜x₁x₂＜e

Answer 1

分析 作出y₁=10^x，y₂=|lg（-x）|的图象，得出两函数图象有两个交点，设横坐标为x₁，x₂且|lg（-x₁）|＜|lg（-x₂）|，得出0＜x₁x₂＜1，再结合零点存在定理，可得$\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1．

解答 解：设y₁=10^x，y₂=|lg（-x）|，画出两函数的图象，如右图，
其中，红色曲线为y₁的图象，紫色曲线为y₂的图象，
设两图象的交点为A，B，其横坐标为x₁，x₂，
不妨设x₁＜-1＜x₂，由图可知，|lg（-x₁）|＜|lg（-x₂）|，
所以，lg（-x₁）＜-lg（-x₂），因此，lg（x₁x₂）＜0，
解得，0＜x₁x₂＜1，----------------------------①
又因为f（-1）=$\frac{1}{10}$＞0，f（-$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{1{0}^{\frac{1}{e}}}$-lge＜0，
所以，-1＜x₂＜-$\frac{1}{e}$，而x₁＜-1，
所以，x₁x₂＞$\frac{1}{e}$，-------------------------------②
综合①②得，$\frac{1}{e}$＜x₁x₂＜1，
故答案为：C．

点评 本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，以及数形结合的数学思想和分析解决问题的能力，正确作出函数图象是关键，属于中档题．