Question

12．已知f（x）=lnx-ax，（a∈R），g（x）=-x²+2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意的x₁∈[1，e]，总存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$f'（x）=\frac{1}{x}-a$（x＞0）然后通过当a≤0时，当a＞0时，判断导函数的符号求解函数的单调区间即可．
（Ⅱ）设在区间[1，e]上f（x）的值域为A，在[0，3]上g（x）的值域为B，推出A⊆B，判断函数的单调性，求和两个函数的最值，通过①当a≤0时，②当a≥1时，③当$0＜a≤\frac{1}{e}$时，④当$\frac{1}{e}＜a＜1$时，分别求解函数的最值，结合A⊆B，求解实数a的取值范围．

解答 （本题满分12分）
解：（Ⅰ）∵$f'（x）=\frac{1}{x}-a$（x＞0）
∴当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增区间为（0，+∞），没有单调递减区间；…（2分）
当a＞0时，$x∈（0，\frac{1}{a}）$时f'（x）＞0，$x∈（\frac{1}{a}，+∞）$时f'（x）＜0，
∴f（x）单调递增区间为$（0，\frac{1}{a}）$，单调递减区间为$（\frac{1}{a}，+∞）$．…（4分）
（Ⅱ）设在区间[1，e]上f（x）的值域为A，在[0，3]上g（x）的值域为B，
则依题意A⊆B…（5分）
易知g（x）在[0，1]上递增，在[1，3]上递减，g（x）_max=g（1）=2，g（x）_min=-2
∴B=[-2，2]…（6分）
①当a≤0时，f（x）在[1，e]上单调递增，f（1）=-a，f（e）=1-ae，A=[-a，1-ae]
∴$\left\{\begin{array}{l}-a≥-2\\ 1-ae≤2\end{array}\right.$，得$-\frac{1}{e}≤a≤2$，∴$-\frac{1}{e}≤a≤0$
②当a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递减，A=[1-ae，-a]，$\left\{\begin{array}{l}1-ae≥-2\\-a≤2\end{array}\right.$得$-2≤a≤\frac{3}{e}$，
∴$1≤a≤\frac{3}{e}$
③当$0＜a≤\frac{1}{e}$时，f（x）在[1，e]上单调递增，可得$0＜a≤\frac{1}{e}$
④当$\frac{1}{e}＜a＜1$时，f（x）在[1，e]上f（x）_max=-lna-1≤2f（1）=-a≥-2，f（e）=1-ae≥-2，这时A⊆B．
综上，实数a的取值范围为$[-\frac{1}{e}，\frac{3}{e}]$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．