Question

1．已知f（x）=$\frac{bx+1}{（ax+1）^{2}}$（x≠-$\frac{1}{a}$，a＞0），且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）已知数列{x_n}的项满足x_n=[1-f（1）][1-f（2）]…[1-f（n）]，试求x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）猜想{x_n}的通项公式．（不需要证明）

Answer 1

分析 （1）把f（1）=log₁₆2=$\frac{1}{4}$，f（-2）=1，代入函数表达式得：$\frac{b+1}{（a+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{-2b+1}{（-2a+1）^{2}}$=1，解得a，b．
（2）x₁=1-f（1）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，同理可得x₂，x₃，x₄．
（3）由（2）知，x₁=$\frac{3}{4}$，x₂=$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{6}$，x₃=$\frac{5}{8}$，x₄=$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{10}$，…，由此可以猜想x_n．

解答 解：（1）把f（1）=log₁₆2=$\frac{1}{4}$，f（-2）=1，代入函数表达式得：$\frac{b+1}{（a+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{-2b+1}{（-2a+1）^{2}}$=1，
解得：a=1，b=0，（舍去a=-$\frac{1}{3}$＜0），
∴f（x）=$\frac{1}{（x+1）^{2}}$（x≠-1）．
（2）x₁=1-f（1）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
x₂=[1-f（1）][1-f（2）]=$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{1}{9}$）=$\frac{2}{3}$，
x₃=$\frac{2}{3}$[1-f（3）]=$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{1}{16}$）=$\frac{5}{8}$，
x₄=$\frac{5}{8}$×（1-$\frac{1}{25}$）=$\frac{3}{5}$．
（3）由（2）知，x₁=$\frac{3}{4}$，x₂=$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{6}$，x₃=$\frac{5}{8}$，x₄=$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{10}$，…，由此可以猜想x_n=$\frac{n+2}{2n+2}$．

点评 本题考查了对数函数的运算法则、方程的解法、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．