Question

9．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρsin²θ=4cosθ，直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），两曲线相交于M，N两点．
（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
（2）若P（-2，-4），求|PM|+|PN|的值．

Answer 1

分析 （1）消去直线l的参数可得普通方程，利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，带入化解可得曲线C直角坐标方程．
（2）利用直线参数方程的几何意义和韦达定理求解即可．

解答 解：（1）直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，可得x-y=2．
∴直线l的普通方程为x-y-2=0．
曲线C：ρsin²θ=4cosθ，
可得（ρsinθ）²⁼4ρcosθ，
根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，
可得y²=4x
∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x．
（2）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入y²=4x，
得到t²-12$\sqrt{2}$t+48=0，
得M，N对应的参数分别为t₁，t₂，
则t₁+t₂=12$\sqrt{2}$，t₁t₂=48＞0．
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=12$\sqrt{2}$．
另解：由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ x-y-2=0\end{array}\right.$联立解得：$M（4+2\sqrt{3}，2+2\sqrt{3}），N（4-2\sqrt{3}，2-2\sqrt{3}）$．
由两点间距离公式，得：|PM|+|PN|=12$\sqrt{2}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及直线参数方程的几何意义的应用，属于中档题．