Question

已知f(x)=

3

sinx-cosx，?x₁，x₂∈R（x₁≠x₂）则

f(x1)-f(x2)

x1-x2

的取值范围是：

 

．

Answer 1

分析：先利用辅助角公式对已知函数化简，然后对已知函数求导，由导数的几何意义可知=求，函数在一点处的切线的斜率k=

lim

x2→x1

f(x1)-f(x2)

x1-x2

的范围，而

f(x1)-f(x2)

x1-x2

为曲线上任意两点的连线的割线的斜率，可求

解答：解：∵f(x)=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

）
∴f‘(x)=2cos(x-

π

6

)
由导数的几何意义可知，函数在一点处的切线的斜率k=

lim

x2→x1

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=2cos（x-

π

6

）
∴k_max=2，k_min=-2
∵

f(x1)-f(x2)

x1-x2

为曲线上任意两点的连线的割线的斜率
∴-2＜

lim

x2→x1

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2
故答案为：（-2，2）

点评：本题主要考查了辅助角公式在三角函数的化简中的应用，导数的几何意义的应用是求解本题的关键