Question

已知函数f(x)=e^x-x(e为自然对数的底数).

(1)求f(x)的最小值;

(2)设不等式f(x)＞ax的解集为P,且{x|0≤x≤2}P,求实数a的取值范围;

(3)设n∈N^*,证明.

Answer 1

(1)解：f(x)的导数f′(x)=e^x-1.

令f′(x)＞0，解得x＞0;令f′(x)＜0,解得x＜0.

从而f(x)在(-∞，0)内单调递减，在(0，+∞)内单调递增.

所以,当x=0时,f(x)取得最小值1.

(2)解：因为不等式f(x)＞ax的解集为P,且{x|0≤x≤2}P,

所以对于任意x∈［0,2］,不等式f(x)＞ax恒成立.

由f(x)＞ax,得(a+1)x＜e^x.

当x=0时,上述不等式显然成立,故只需考虑x∈(0,2］的情况.

将(a+1)x＜e^x变形为a＜-1,

令g(x)=-1,则g(x)的导数g′(x)=,

令g′(x)＞0,解得x＞1;令g′(x)＜0，解得x＜1.

从而g(x)在(0，1)内单调递减，在(1，2)内单调递增.

所以,当x=1时,g(x)取得最小值e-1,

从而实数a的取值范围是(-∞,e-1).

(3)证明：由(1)得，对于任意x∈R,都有e^x-x≥1,

即1+x≤e^x.

令x=(n∈N^*,i=1,2…,n-1),则0＜1＜.

∴(1)ⁿ＜()ⁿ=e^-i(i=1,2,…,n-1),

即()ⁿ＜e^-i(i=1,2,…,n-1).

∴=()ⁿ+()ⁿ+…+()ⁿ+()ⁿ＜e^-(n-1)+e^-(n-2)+…+e^-1+1.

∵e^-(n-1)+e^-(n-2)+…+e^-1+1=＜,

∴＜.