Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=

3

，C=

π

3

．
（Ⅰ）若2sin2A+sin（A-B）=sinC，求A；
（Ⅱ）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,二倍角的正弦

专题：综合题,解三角形

分析：（Ⅰ）利用sinC=sin（A+B），利用两角和公式化简整理求得sinBcosA=2sinAcosA，对cosA进行分类讨论，求得sinA的值，即可求出A；
（Ⅱ）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求△ABC周长的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）sinC+sin（B-A）=sin（A+B）+sin（B-A）=sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA-cosBsinA
=2sinBcosA=4sinAcosA，即sinBcosA=2sinAcosA，
∴cosA=0或sinB=2sinA，
当cosA=0时，sinA=1，A=

π

2

；
当sinB=2sinA时，由正弦定理知b=2a，
cosC=

a2+4a2-3

4a2

=

1

2

，
∴a=1，
∴sinA=

sinC

c

•a=

1

2

，
∵B＞A，
∴A=

π

6

，
综上，A=

π

2

或A=

π

6

；
（Ⅱ）c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab≥（a+b）²-3•

(a+b)2

4

=

(a+b)2

4

∵c=

3

，
∴（a+b）²≤12，
∴a+b≤2

3

，当且仅当a=b时取等号，
∵a+b＞c，
∴

3

＜a+b≤2

3

，
∴△ABC周长的取值范围为[2

3

，3

3

]．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．