Question

20．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$π
• C． 12π
• D． $\frac{8\sqrt{3}}{3}$π

Answer 1

分析 根据几何体的三视图，得该几何体为一直四棱锥，画出直观图，求出该四棱锥的外接球的直径即可．

解答 解：根据几何体的三视图，得该几何体为一直四棱锥，其直观图如图所示；

∵正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，
∴四棱锥的底面是正方形，且边长为2，其中一条侧棱SA⊥底面ABCD且棱长SA=2，
∴四棱锥的侧棱SB=SD=2$\sqrt{2}$，
∴四棱锥的侧棱SC满足SC²=SA²+AB²+AD²=2²+2²+2²=12，
∴该几何体的外接球的直径为2R=SC，
它的表面积为4πR²=πSC²=12π．
故选：C．

点评 本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体外接圆的表面积的应用问题，是基础题目．