Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°．E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面A′DE；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取A′D的中点G，
连接GF，GE，由条件易知
FG∥CD，FG=

1

2

CD．
BE∥CD，BE=

1

2

CD．
所以FG∥BE，FG=BE．
故所以BF∥EG．
又EG?平面A'DE，BF?平面A'DE
所以BF∥平面A'DE．
（Ⅱ）在平行四边形ABCD中，设BC=a，
则AB=CD=2a，AD=AE=EB=a，
连接A′M，CE
因为∠ABC=120°
在△BCE中，可得CE=

3

a，
在△ADE中，可得DE=a，
在△CDE中，因为CD²=CE²+DE²，所以CE⊥DE，
在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE．
由平面A′DE⊥平面BCD，
可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE．
取A′E的中点N，连线NM、NF，
所以NF⊥DE，NF⊥A′M．
因为DE交A′M于M，
所以NF⊥平面A′DE，
则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角．
在Rt△FMN中，NF=

3

2

a，MN=

1

2

a，FM=a，
则cos∠FMN=

1

2

．
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为

1

2

．