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    【题目】阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献．为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”他们的调查结果如下：

    （1）完成如下列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？

    （2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本．

    （ⅰ）求抽取的文科生和理科生的人数；

    （ⅱ）从10人的样本中随机抽取3人，用表示这3人中文科生的人数，求的分布列和数学期望．参考数据：

    ，．

    【答案】（1）见解析；（2）（ⅰ）文科生人，理科生人；（ⅱ）见解析.

    【解析】

    （1）根据已知数据填写列联表，根据公式计算可得，可知没有的把握；（2）（ⅰ）根据分层抽样的原则计算即可得到结果；（ⅱ）首先确定所有可能的取值为，根据超几何分布的概率公式可求得每个取值对应的概率，从而可得分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望.

    （1）依题意填写列联表如下：

    ，

    没有的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关

    （2）（ⅰ）抽取的文科生人数是：人

    理科生人数是：人

    （ⅱ）的可能取值为

    则；；

    ；

    其分布列为：

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    x

    6

    8

    10

    12

    y

    6

    m

    3

    2

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    C. 变量之间的相关系数

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    （Ⅰ）求图1中的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；

    （Ⅱ）在选取的样本中，从甲，乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数，求随机变量的分布列和数学期望．

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    【题目】某二手交易市场对某型号的二手汽车的使用年数（）与销售价格（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：

    使用年数

    2

    4

    6

    8

    10

    销售价格

    16

    13

    9.5

    7

    4.5

    （I）试求关于的回归直线方程.

    （参考公式：，）

    （II）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元，根据（I）中所求的回归方程，预测为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大？（利润=销售价格-收购价格）

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    【题目】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

    （1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；

    （2）设动点在圆上，动线段的中点的轨迹为，与直线交点为，且直角坐标系中，点的横坐标大于点的横坐标，求点的直角坐标.

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    【题目】如图，在四面体中，,.

    （Ⅰ）求证：；

    （Ⅱ）若与平面所成的角为，点是的中点，求二面角的大小.

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    （1）求证：平面；

    （2）若是弧的中点，是锐角，且三棱锥的体积为，求的值.

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    （1）求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；

    （2）求观光路线总长的最大值.

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