【题目】某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制,发布成绩使用等级制.各等制划分标准为:85分及以上,记为等;分数在
内,记为
等;分数在
内,记为
等;60分以下,记为
等.同时认定
为合格,
为不合格.已知甲,乙两所学校学生的原始成绩均分布在
内,为了比较两校学生的成绩,分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照
的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示,乙校的样本中等级为
的所有数据茎叶图如图2所示.
(Ⅰ)求图1中的值,并根据样本数据比较甲乙两校的合格率;
(Ⅱ)在选取的样本中,从甲,乙两校等级的学生中随机抽取3名学生进行调研,用
表示所抽取的3名学生中甲校的学生人数,求随机变量
的分布列和数学期望.
【答案】(1);甲、乙两校的合格率均为96%;(2)详见解析.
【解析】试题分析:(1)频率分布直方图中,小矩形的和为频率和,和为1,这样可得到的值;合格率为大于等于60分的频率和;(2)
为
级,甲校C级的频率为
,人数为
,而乙校C级的人数为4人,随机抽取3人中,甲校学生人数
的可能取值为0,1,2,3,所对应的概率
,列分布列并求数学期望.
试题解析:(1)由题意,可知,
∴................2分
∴甲学校的合格率为........................3分
而乙学校的合格率为.................4分
∴甲、乙两校的合格率均为96%................5分
(2)样本中甲校等级的学生人数为
....................6分
而乙校等级的学生人数为4.
∴随机抽取3人中,甲校学生人数的可能取值为0,1,2,3...........7分
∴,
∴的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
...................................11分
数学期望.................12分
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【题目】椭圆:
,其长轴是短轴的两倍,以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为
,直线
与椭圆交于
,
两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线
的垂线,垂足为
.若
,求点
的轨迹方程;
(3)设直线,
,
的斜率分别为
,
,
,其中
且
.设
的面积为
.以
、
为直径的圆的面积分别为
,
,求
的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),圆
的方程为
.以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求直线及圆
的极坐标方程;
(Ⅱ)若直线与圆
交于
两点,求
的值.
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【题目】2017 高考特别强调了要增加对数学文化的考查,为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(文、理科试卷满分均为分),并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了
名学生的成绩,按照成绩为
分成了
组,制成了如图所示的频率分布直方图(假定每名学生的成绩均不低于
分).
(1)求频率分布直方图中的的值,并估计所抽取的
名学生成绩的平均数、中位数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);
(2)若高三年级共有名学生,试估计高三学生中这次测试成绩不低于
分的人数;
(3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于分的三组学生中抽取
人,再从这
人中随机抽取
人参加这次考试的考后分析会,试求后两组中至少有
人被抽到的概率.
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【题目】如图,正三棱柱的各条棱长均相等,
为
的中点,
分别是线段
和线段
上的动点(含端点),且满足
.当
运动时,下列结论中不正确的是( )
A. 平面平面
B. 三棱锥
的体积为定值
C. 可能为直角三角形 D. 平面
与平面
所成的锐二面角范围为
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【题目】阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家,对几何学、力学等学科作出过卓越贡献.为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度,某调查小组随机抽取了某市的100名高中生,请他们列举阿基米德的成就,把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”,少于三项的称为“不太了解”他们的调查结果如下:
(1)完成如下列联表,并判断是否有99%的把握认为,了解阿基米德与选择文理科有关?
(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本.
(ⅰ)求抽取的文科生和理科生的人数;
(ⅱ)从10人的样本中随机抽取3人,用表示这3人中文科生的人数,求
的分布列和数学期望.参考数据:
,
.
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【题目】某单位从一所学校招收某类特殊人才,对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:
例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人.由于部分数据丢失,只知道从这
位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为
.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)从参加测试的位学生中任意抽取
位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率;
(III)从参加测试的位学生中任意抽取
位,设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为
,求随机变量
的分布列.
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【题目】我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”,其内容为:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢?各穿几何?”如图的程序框图源于这个题目,执行该程序框图,若输入x=20,则输出的结果为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
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