Question

已知等比数列{a_n}的各项都是正数，前n项和为S_n，
且a₃=4，S₄=S₃+8，求：（1）等比数列{a_n}的通项公式；（2）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和 T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为已知数列{a_n}为等比数列，所以只要找到首项和公比即可，利用S₄=S₃+8，S₄-S₂=a₄，得a₄=8，再根据求a₁和q，代入等比数列通项公式，即可得等比数列{a_n}的通项公式．
（2）把（1）中所求a_n=2^n-1代入b_n=na_n，，可得数列{b_n}的通项公式为b_n=n•2^n-1，然后利用错位相减，可以求出数列{b_n}的前n项和 T_n．
解答：解：（1）∵S₄=S₃+8，∴a₄=S₄-S₃=8，又∵a₃=4，
∴
∴等比数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1．
（2）由（1）知：数列{a_n}的首项为1，公比为2，a_n=2^n-1，b_n=n•2^n-1，
∴b_n=n•2^n-1，
∴T_n=b₁+b₂+b₃…+b_n=1+2•2+3•2²+…+n•2^n-1
2T_n=2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ
∴T_n=（n-1）2ⁿ+1
点评：本题考查了等比数列的通项公式，以及错位相减求和，做题时要细心．