Question

16．某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m千米，远地点距地面n千米，地球半径为r千米，则该飞船运行轨道的短轴长为（　　）

• A． 2$\sqrt{（m+r）（n+r）}$千米
• B． $\sqrt{（m+r）（n+r）}$千米
• C． 2mn千米
• D． mn千米

Answer 1

分析 宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F₂为一个焦点的椭圆，所以近地点距地心为a-c，远地点距地心为a+c．就可求出a，c的值，再根据椭圆中b²=a²-c²求出b，就可得到短轴长．

解答 解：∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F₂为一个焦点的椭圆，
设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
则近地点A距地心为a-c，远地点B距地心为a+c．
∴a-c=m+r，a+c=n+r，
∴a=$\frac{m+n}{2}$+r，c=$\frac{n-m}{2}$．
又∵b²=a²-c²=（$\frac{m+n}{2}$+r）²-（$\frac{n-m}{2}$）²=mn+（m+n）r+r²=（m+r）（n+r）
∴b=$\sqrt{（m+r）（n+r）}$，∴短轴长为2b=2$\sqrt{（m+r）（n+r）}$千米，
故选A

点评 本题考查了椭圆的标准方程，主要在实际问题中考查a，b，c之间的关系，易错点是没有考虑地球的半径，属于中档题．