Question

11．以下命题正确的个数为（　　）
（1）存在无数个α，β∈R，使得等式sin（α-β）=sinαcosβ+cosαsinβ成立；
（2）在△ABC中，“A＞$\frac{π}{6}$”是“sinA＞$\frac{1}{2}$”的充要条件；
（3）命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”的逆否命题是真命题；
（4）命题“若α=$\frac{π}{6}$，则sinα=$\frac{1}{2}$”的否命题是“若α≠$\frac{π}{6}$，则sinα≠$\frac{1}{2}$”．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1），利用正弦的和差公式验证即可．
（2），A＞30°得不出sinA＞$\frac{1}{2}$，比如A=160°，若sinA＞$\frac{1}{2}$，根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，能得到A＞30°；
（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题；
（4），利用原命题与其否命题的关系判定．

解答 解：对于（1），sin（α-β）=sinαcosβ-sinβcosα=sinαcosβ+cosαsinβ．可得sinβcosα=0，所以只要β=kπ，α任意，或者α=2kπ+$\frac{π}{2}$，β任意．故正确．
对于（2），A＞30°得不出sinA＞$\frac{1}{2}$，比如A=160°，若sinA＞$\frac{1}{2}$，∵sin30°=sin150°=$\frac{1}{2}$，∴根据正弦函数在（0，π）上的图象可得：30°＜A＜150°，∴能得到A＞30°；
得A＞30°是sinA＞$\frac{1}{2}$的必要不充分条件，故错；
 对于（3），命题“在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B”是真命题，其逆否命题是真命题，故正确
对于（4），命题“若α=$\frac{π}{6}$，则sinα=$\frac{1}{2}$”的否命题是“若α≠$\frac{π}{6}$，则sinα≠$\frac{1}{2}$”，正确．
故选：C

点评 本题考查了命题真假的判定，涉及到了三角、命题的否命题等基础知识，属于中档题．