Question

15．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ+φ）=0，（其中sinφ=$\frac{1}{3}$，cosφ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．
（1）求曲线C在极坐标系中的方程；
（2）求曲线C上到直线l距离最大的点的坐标．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1可得直角坐标方程，把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．
（2）直线l的方程为ρsin（θ+φ）=0，（其中sinφ=$\frac{1}{3}$，cosφ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），可得直角坐标方程：$x+2\sqrt{2}y$=0，设曲线C上的任意一点P（2cosθ，2+2sinθ），利用点到直线的距离公式可得：点P到直l的距离d=$\frac{|6sin（θ+α）+4\sqrt{2}|}{3}$，即可得出．

解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2+2sinθ}\end{array}\right.$，（θ为参数），
利用cos²θ+sin²θ=1可得：x²+（y-2）²=4．即x²+y²-4y=0，可得极坐标方程：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．
（2）直线l的方程为ρsin（θ+φ）=0，（其中sinφ=$\frac{1}{3}$，cosφ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），可得直角坐标方程：$x+2\sqrt{2}y$=0，
设曲线C上的任意一点P（2cosθ，2+2sinθ），则点P到直l的距离d=$\frac{|2cosθ+4\sqrt{2}+4\sqrt{2}sinθ|}{3}$=$\frac{|6sin（θ+α）+4\sqrt{2}|}{3}$≤2+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}{cosα=\frac{1}{3}}\\{sinα=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，即P$（\frac{2}{3}，2+\frac{4\sqrt{2}}{3}）$时，d取得最大值2+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
∴P$（\frac{2}{3}，2+\frac{4\sqrt{2}}{3}）$为所求．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、一点参数方程的应用、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．