Question

已知函数f（x）=x²+（a+1）x+4，（a∈R）．命题P：函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数；命题Q：对任意的x∈R，f（x）＞0恒成立；若P或Q为真，P且Q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：根据二次函数的图象和性质，我们可以求出命题P：函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数为真命题时，实数a的取值范围，根据二次函数恒成立的充要条件，我们可以求出命题Q：对任意的x∈R，f（x）＞0恒成立为真命题时，实数a的取值范围，进而根据P或Q为真，P且Q为假，我们可得命题P和命题Q中必然一真一假，分类讨论后，综合讨论结果即可得到答案．

解答：解：∵函数f（x）=x²+（a+1）x+4
若命题P：函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数为真命题
则-

a+1

2

≤1，即a≥-3
若命题Q：对任意的x∈R，f（x）＞0恒成立为真命题
则△=（a+1）²-16＜0，即-5＜a＜3
若P或Q为真，P且Q为假，则命题P和命题Q中必然一真一假
当P为真，Q为假时a≥3
当P为假，Q为真时-5＜a＜-3
综上满足条件的实数a的取值范围为：（-5，-3）∪[3，+∞）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，命题的真假判断与应用，其中熟练掌握二次函数的图象和性质，并由此判断出命题P和命题Q成立时，实数a的取值范围是解答本题的关键．