Question

设△ABC的内角A，B，C的所对的边a，b，c成等比数列，则

sinB

sinA

的取值范围是（　　）

• A、（0，+∞）
• B、（0，

  5 +1

  2

  ）
• C、（

  5 -1

  2

  ，

  5 +1

  2

  ）
• D、（

  5 -1

  2

  ，+∞）

Answer 1

考点：正弦定理,等比数列的性质

专题：解三角形

分析：先用余弦定理获得a，b，c的关系式，进而根据三边长成等比数列求得c=

b2

a

代入，整理可得关于

b

a

的等式，利用cosA的范围获得不等式，解不等式即可．

解答： 解：由余弦定理知cosB=

a2+c2-b2

2ac

，
∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，即c=

b2

a

，
∴cosB=

a2+ b2 a -b2

2•a• b2 a

=

1

2

（

a2

b2

+

b2

a2

-1），
设

b

a

=t，则cosB=

1

2

（t²+

1

t2

-1），
∵-1＜cosB＜1，
∴-1＜

1

2

（t²+

1

t2

-1）＜1
∵t²+

1

t2

≥2，
∴t²+

1

t2

-1≥1，
只需求

1

2

（t²+

1

t2

-1）＜1，整理得t⁴-3t²+1＜0，
求得

3- 5

2

＜t²＜

3+ 5

2

，
∴

5 -1

2

＜t＜

5 +1

2

，
即

5 -1

2

＜

b

a

＜

5 +1

2

，
∵正弦定理知

b

a

=

sinB

sinA

，
∴

5 -1

2

＜

sinB

sinA

＜

5 +1

2

，
故选C．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．本题主要是利用正弦定理和余弦定理把解三角形问题转换成解不等式问题．