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已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x).

1)求函数f(x)的表达式;

2)证明:当a>3时,函数g(x)=f(x)-f(a)有三个零点.

答案:
解析:

  解:(1)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,∴f1(x)=x2

  设f2(x)=(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为

  A()B(-,-)

  由=8,得k=8.∴f2(x)=.故f(x)=x2

  (2)证法一:f(x)=f(a),得x2=a2

  即=-x2+a2

  在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)=-x2+a2的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,f3(x)与的图象是以(0,a2)为顶点,开口向下的抛物线.

  因此,f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,

  即f(x)=f(a)有一个负数解.

  又∵f2(2)=4,f3(2)=-4+a2

  当a>3时.f3(2)-f2(2)=a2-8>0,

  ∴当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f2(x)图象的上方.

  ∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.

  因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.即函数g(x)有三个零点.

  证法二:由f(x)=f(a),得x2=a2,即(x-a)(x+a-)=0,得方程的一个解x1=a.

  方程x+a-=0化为ax2+a2x-8=0,由a>3,△=a4+32a>0,得x2,x3

  ∵x2<0,x3>0,∴x1≠x2,且x2≠x3.若x1=x3,即a=,则3a2,a4=4a,得a=0或a=,这与a>3矛盾,∴x1≠x3

  故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.即函数g(x)有三个零点.


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