Question

已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程；
（2）点在圆上，且在第一象限，过作圆的切线交椭圆于,两点，问：△的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．

Answer 1

（1）；（2）详见解析

解析试题分析：（1）根据点在曲线上可代入方程，再根据椭圆中，解方程组可得的值。从而可得椭圆方程。法二，还可根据椭圆的定义椭圆上点到两焦点的距离为直接求得，再根据求。（2）设的方程为，根据与圆相切可得间的关系。再将直线与椭圆方程联立消掉整理为关于的一元二次方程，可得根与系数的关系。由直线与圆锥曲线的相交弦公式可得，再根据两点间距离可求，将三边长相加，根据前边得到的间的关系问题即可得证。
试题解析：（1）『解法1』：
(1)由题意，得，2分
解得4分
∴椭圆方程为.5分
『解法2』：
右焦点为，
左焦点为，点在椭圆上

所以，
所以椭圆方程为5分
（2）『解法1』：
由题意，设的方程为
∵与圆相切
∴，即6分
由，得7分
设，则，8分
∴
10分
又
 

∴11分
∴（定值）12分
『解法2』：
设，

8分
连接，由相切条件知：

10分
同理可求
所以为定值.12分
考点：1椭圆的标准方程；2直线和圆锥曲线的相交弦问题；3直线和圆的位置关系。