Question

已知抛物线．
(1)若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标；
(2)抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率；
(3)若过点且相互垂直的两条直线,抛物线与交于点与交于点．
证明：无论如何取直线,都有为一常数．

Answer 1

（1）；（2）；（3）证明见解析．

解析试题分析：（1）本题考查抛物线的定义，由于直线是已知抛物线的的准线，而圆心在抛物线上的圆既然与准线相切，则它必定过抛物线的焦点，所以所有的圆必过抛物线的焦点，即定点；（2）这是直线与抛物线相交问题，设如设，，则，两式相减有，则，下面就是要求或，为此，我们设直线方程为，把它与抛物线方程联立方程组，消去，就可得到关于的方程，可得，，只是里面含有，这里解题的关键就是已知条件怎样用？实际上有这个条件可得，这样与刚才的，合起来就能求出；（3）由于直线过焦点，因此弦长可用抛物线的定义来求，设方程为，，同理，直线计算，可证结论．
试题解析：(1) 由定义可得定点(1,0);（4分）
(2)设,由,得（5分）
由方程组,得
得（7分）
联立上述方程求得:（9分）
(3) 由,得（11分）
则,（12分）
同理: ,（14分）
因此为常数．（16分）
考点：(1)抛物线的定义；（2）直线和与抛物线相交与向量的应用；(3)圆锥曲线综合问题．