Question

10．已知点P（-3，3），圆C：x²+y²-4x-4y+7=0，直线l₀：x-y+2=0
（1）过点P作圆C的切线，求切线的长；
（2）过点P作直线l，与l关于直线l₀对称的直线l′和圆C相切，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出CP，利用勾股定理求切线的长；
（2）求出圆C关于直线l₀对称的圆的方程，利用圆C关于直线l₀对称的圆与直线l相切，即可求l的方程．

解答 解：（1）已知圆的标准方程是（x-2）²+（y-2）²=1，圆心坐标为C（2，2），半径为1，
∴CP=$\sqrt{（2+3）^{2}+（2-3）^{2}}$=$\sqrt{26}$，
∴切线的长=$\sqrt{C{P}^{2}-{1}^{2}}$=5；
（2）由题意，圆C关于直线l₀对称的圆与直线l相切，
设（2，2）关于直线l₀对称的点的坐标为（a，b），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+2}{2}-\frac{b+2}{2}+2=0}\\{\frac{b-2}{a-2}=-1}\end{array}\right.$，
∴a=0，b=4，
∴圆C关于直线l₀对称的圆的方程是x²+（y-4）²=1，
设直线l的方程为y-3=k（x+3），即kx-y+3k+3=0，
∴圆心到直线的距离d=$\frac{|-4+3k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴k=0或$\frac{3}{4}$，
∴l的方程为y-3=0或3x-4y+21=0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点关于直线的对称点的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．