Question

20．命题p：x∈{x|x²-6x+8=0}，命题q：x∈{x|x²+2（a+1）x+a²+3a=0}，若￢p是￢q的充分不必要条件，求a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出p，q的等价条件，将￢p是￢q的充分不必要条件转化为q是p的充分不必要条件，建立条件关系，即可求出a的取值范围．

解答 解：由x∈{x|x²-6x+8=0}={2，4}，
若?p是?q的充分不必要条件，
由命题的等价性可知：q是p的充分不必要条件，
即q⇒p，且p⇒q不成立，
∴2或4属于q的集合，或者q的集合为空集，
当x=2时，4+4（a+1）+a²+3a=0，解得a=$\frac{-7±\sqrt{17}}{2}$，
当x=4时，16+8（a+1）+a²+3a=0，解得a=-3或a=-8，
但是当a取上面4个值时，q均不为单元数集，
当q的集合为空集时，4（a+1）²-4a²-12a＜0，解得a＞1，
故a的取值范围为（1，+∞）

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键．