Question

12．设命题p：t²-3t+2＜0；命题q：函数f（x）=3x²+2tx+t+$\frac{4}{3}$=0有不等根．
（1）若“p∨q”为假命题，求t的取值范围；
（2）若“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，求t的取值范围．

Answer 1

分析 对于命题p：t²-3t+2＜0，解得1＜t＜2；对于命题q：函数f（x）=3x²+2tx+t+$\frac{4}{3}$=0有不等根，△＞0，解得t＞4或t＜-1．
（1）若“p∨q”为假命题，则命题p与q都为假命题，解出即可；
（2）若“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则命题p与q必然一真一假，即可解出．

解答 解：对于命题p：t²-3t+2＜0，解得1＜t＜2；对于命题q：函数f（x）=3x²+2tx+t+$\frac{4}{3}$=0有不等根，△=$4{t}^{2}-12（t+\frac{4}{3}）$＞0，解得t＞4或t＜-1．
（1）若“p∨q”为假命题，则命题p与q都为假命题，∴$\left\{\begin{array}{l}{t≤1或t≥2}\\{-1≤t≤4}\end{array}\right.$，解得-1≤t≤1或2≤t≤4．
∴t的取值范围是-1≤t≤1或2≤t≤4．
（2）若“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，
则命题p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{1＜t＜2}\\{-1≤t≤4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t≤1或t≥2}\\{t＜-1或t＞4}\end{array}\right.$，
解得1＜t＜2或t＜-1或t＞4．
∴t的取值范围是1＜t＜2或t＜-1或t＞4．

点评 本题考查了复合命题的判断方法、一元二次不等式的解法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．