Question

17．已知函数f（x）=2asin²x+2sinxcosx-a的图象关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称．
（1）求常数a；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（0）=f（$\frac{5π}{6}$），即0-a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-a•$\frac{1}{2}$，由此求得a的值．
（2）由（1）可得f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

解答 解：（1）函数f（x）=2asin²x+2sinxcosx-a=sin2x-acos2x 的图象关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称．
故f（0）=f（$\frac{5π}{6}$），即0-a=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-a•$\frac{1}{2}$，求得a=$\sqrt{3}$．
（2）由（1）可得f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
故当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最小值为-$\sqrt{3}$，当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2，
故函数的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．