Question

14．已知△ABC中的三个内角角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosC=$\frac{sinC+2sinB}{2sinA}$．
（1）求角A的大小；
（2）若S_△ABC=$\sqrt{3}$，sinB+sinC=1，求边b+c的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理结合余弦定理化简已知等式可得b²+c²-a²=-bc，利用余弦定理可求cosA，结合范围0＜A＜π，可得A．
（2）由sinB+sinC=sin（B+$\frac{π}{3}$）=1，可解得：B=$\frac{π}{6}$=C，即b=c，由S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\sqrt{3}$，解得：bc=4，从而解得b=c=2，即可得解．

解答 解：（1）∵由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴结合余弦定理可得：cosC=$\frac{sinC+2sinB}{2sinA}$=$\frac{c+2b}{2a}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得：b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{-bc}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴由0＜A＜π，可得：A=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵由（1）可得A=$\frac{2π}{3}$，
∴sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{π}{3}$-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB$=sin（B+$\frac{π}{3}$）=1，
∴解得：B=$\frac{π}{6}$=C，
∴解得b=c，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{1}{2}$bc×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，解得：bc=4，
∴可解得：b=c=2，故可得：b+c=4．

点评 本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．