Question

4．已知关于x的不等式（m-2）x²+2（m-2）x-4＜0．
（1）当m=$\frac{10}{3}$时，求不等式的解集．
（2）若不等式对一切x∈R恒成立，求实数m取值范围．

Answer 1

分析 （1）将m=$\frac{10}{3}$代入，即可列出关于x的不等式，求解即可得到不等式的解集；
（2）对m进行分类讨论，利用二次函数的性质列出不等关系，求解即可得到实数m的取值范围．

解答 解：（1）当m=$\frac{10}{3}$时，不等式（m-2）x²+2（m-2）x-4＜0，
可化为：$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-4＜0，即x²+2x-3＜0
∴-3＜x＜1，
∴关于x的不等式f（x）≥-1的解集为{x|-3＜x＜1}；
（2）若（m-2）x²+2（m-2）x-4＜0对一切x∈R恒成立，
①当m-2=0，即m=2时，-4＜0对x∈R恒成立，
∴m=2满足题意；
②当m≠2时，
则由$\left\{\begin{array}{l}m-2＜0\\△=4（m-2）^{2}+16（m-2）＜0\end{array}\right.$，解得-2＜m＜2．
综合①②，可得-2＜m≤2，
故实数m的取值范围为（-2，2]

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，函数的恒成立问题，同时考查了二次函数的相关性质，研究二次函数时，要抓住开口方向，对称轴以及判别式等．对于恒成立问题解决的方法常有：参变量分离法，求最值法，数形结合法．属于中档题．