Question

19．（文）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+$\frac{1}{2}$n，则数列的通项公式a_n=$2n-\frac{1}{2}$；
（理）已知数列{a_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{4}{n^2}+\frac{2}{3}$n+3，则数列的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{47}{12}，}&{n=1}\\{\frac{6n+5}{12}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 利用a_n+1=S_n+1-S_n计算出a_n（n≥2），进而可得结论．

解答 解：（文）依题意，a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²+$\frac{1}{2}$（n+1）-（n²+$\frac{1}{2}$n）=2（n+1）-$\frac{1}{2}$，
又∵a₁=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$满足上式，
∴a_n=$2n-\frac{1}{2}$；
（理）依题意，a_n+1=S_n+1-S_n=$\frac{1}{4}$（n+1）²+$\frac{2}{3}$（n+1）+3-（$\frac{1}{4}{n^2}+\frac{2}{3}$n+3）=$\frac{6（n+1）+5}{12}$，
又∵a₁=$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{3}$+3=$\frac{47}{12}$不满足上式，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{47}{12}，}&{n=1}\\{\frac{6n+5}{12}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$2n-\frac{1}{2}$，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{47}{12}，}&{n=1}\\{\frac{6n+5}{12}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．