Question

8．已知等比数列{a_n}满足：a₁+a₂+a₃+a₄=$\frac{15}{8}$，a₂•a₃=-$\frac{9}{8}$，则$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{4}}$=（　　）

• A． -2
• B． -$\frac{5}{3}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据条件将$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{4}}$转化为已知条件形式进行代入求解即可．

解答 解：∵a₂•a₃=-$\frac{9}{8}$，
∴公比q＜0，
则由a₁+a₂+a₃+a₄=$\frac{15}{8}$，a₂•a₃=-$\frac{9}{8}$，得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$=$\frac{15}{8}$，${{a}_{1}}^{2}{q}^{3}$=-$\frac{9}{8}$，
则$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{4}}$=$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}•[1-（\frac{1}{{q}^{4}}）]}{1-\frac{1}{q}}$=$\frac{1-{q}^{4}}{{a}_{1}{q}^{3}（1-q）}$=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}•\frac{1}{{{a}_{1}}^{2}{q}^{3}}$=$\frac{15}{8}×\frac{1}{-\frac{9}{8}}$=-$\frac{5}{3}$，
故选：B

点评 本题主要考查等比数列前n项和公式的应用，根据条件进行化简是解决本题的关键．本题的条件由于不太容易求首项和公比，故使用转化法是解决本题的关键．